ALJABAR

Tahukah Anda apa pengertian aljabar (algebra)? Menurut Wikipedia, aljabar (algebra) berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang artinya "hubungan" atau "penyelesaian".  Jadi, aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan dan penyelesaian suatu masalah dengan menggunakan huruf-huruf tertentu. Penemu aljabar merupakan ilmuwan muslim yang bernama Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi. 

A. Bentuk Aljabar Dan Unsur-Unsurnya

Perhatikan ilustrasi berikut:

Bayak boneka rika 5 lebihnya dari boneka Desi. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka rika inyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9 buah.

Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar.

Bentuk ajabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan-bilangan yang belum diketahui.

Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal – hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang di butuhkan dalam 3 hari , dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

Contoh bentuk aljabar yang lain seperti;

·         2x

·         -3p

·         4y + 5

·         (x+1)(x-5)

Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut.

Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis dan suku tak sejenis.

Agar lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian berikut:

1. Variabel, konstanta, dan factor

Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk  variabr tetrsebut, huruf x dan y disebut  variabel.

Variabel adalah lambang penganti sutu bilangan yang belumdi ketahui nilainya dengan jelas.

Variabel disebut juga peubah. Variabel  biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, …,z.

Adapun bilangan Sembilan pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta.

Konstanta adalah sukudari suatau bentuk aljabar yang berupa biangan dan  tidak memuat variabel.

Jika suatu bilangan a dapat di ubah menjadi a = p x q dengn a, p, q bilangn bulat, maka p dan q disebur faktor-faktor dari a.

Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 × x atau 5x = 1 ×5x. jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x.

Adapun yang dimaksud koefisien dalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x +3y +8x -6y + 9 . Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3 pada suku 8x adalah 8 dan pada suku -6y adalah -6 .

2. Suku sejenis dan suku tak sejeni

a. suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki pariabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama

contoh: 5x dan -2x, 3a², dan a², y dan 4y,……

b. suku-suku takes jenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.

Contoar: 2x dan -3x², -y dan –x3, 5x dan -2y,….

Contoh: tentukan kuefisien dari x² dan vaktor dari masing-masing bentuk aljabar berikut.

a. 7x²

b. 3x² + 5

c. 2x² + 4x – 3

penyelesaian:

a. 7x² = 7 × x × x

koefisien dari x² adalah 7

Faktor dari 7x² adalah 1,7,x, x², 7x, dan 7x²

b. 3x² +5 = 3 × x × x + 5 × 1

koevisien dari x² adalah 3

faktor dari 3x² adalah 1, 3, x, x², 3x, dan 3x²

faktor dari 5 adalah 1 dan 5.

c. 2x² + 4x – 3 = 2 × x × x + 4 × x -3 × 1

koefisien dari 2x² adalah 2

Faktor dari 2x² adalah 1, 2, x, x², dan 2x

Koefisien dari 4x adalah 4

Faktor dari4x adalah 1, 4, x, dan 4x

Faktor dari -3 adalah -3, -1, 1, dan 3

B.  Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan padasuku-suku yang sejenis.

Contoh:

Tentukan hasilpenjumlahan dan pengurangan bentuk aljabarberikut:

a. -4ax + 7ax

b. (2x² – 3x +2) + (4x² -5x + 1)

c. (3a² + 5) – (4a² – 3a + 2)

Penyelesaian:

a. -4ax + 7ax = (-4 – 7 ) ax

= 3ax

b. (2x² – 3x +2) + (4x² -5x + 1) = 2x² – 3x +2 + 4x² -5x + 1

= 2x² + 4x² – 3x – 5x +2 + 1

=(2 + 4)x² +(-3 – 5) x + (2 +1) (kelompokkan suku-suku sejenis)

= 6 x² – 8x +3

c. (3a² + 5) – (4a² – 3a + 2)  = 3a² + 5 – 4a² + 3a – 2

= 3a² - 4a² +3a – 2

=(3 – 4) a² +3a + (5 – 2)

= – a² +3a +3

2. Perkalian .

a. Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

k(ax) = kax:

k(ax + b) = kax +kb

contoh:

jabarkan bentukaljabar berikut,kemudian sederhanaknlah.

a. 4(p + q)

b. 5 (ax +by)

c. 3(x – 3) + 6 (7x + 1)

d. -8 (2x – y +3z)

Penyelesaian:

a. 4(p+q) = 4p + 4q

b. 5 (ax + by) = 5ax +5by

c. 3(x – 3) + 6 (7x + 1) = 3x – 6 + 42x +6

   = (3 + 42) x – 6 + 6

   = 45x

d. -8 (2x – y +3z)    = -16x + 8y – 24 z

b. Perkalian antara dua bentuk aljabar di nyatakan sebagai berikut:

(ax +b) (cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

(ax +b) (cx2 + dx +e) = acx3 + (ad +bc)x2 + (ae + bd) x + be

(x + b) (x – a) = x2 – a2

Contoh:

Tentukn hasilperkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih.

a. (2x +3) (3x – 2)

b.(-4a + b) (4a +2b)

Penyelesaian:

a. Cara (1) dengan sifatdistributif

   (2x +3) (3x – 2) = 2x (3x – 2) + 3(3x – 2)

      = 6x² – 4x + 9x – 9

      = 6x² + 5x – 6

Cara (2) dengan skema

(2x +3) (3x – 2)

= 2x × 3x + 2x × (-2) + 3 × 3x + 3 × (-2)

= 6x² – 4x + 9x – 6

= 6x² + 5x – 6

b. cara (1) dengan sifat distributive.

(-4a + b) (4a +2b) = -4a (4a +2b) +b ( 4a + 2b)

= – 16a² – 8ab + 4ab + 2b²

= -16a² – 4ab + 2b²

  Cara (2) dengan skema.

(-4a + b) (4a +2b)

= (-4a) × 4a + (-4a) × 2b + b ×4b + b × 2b

= – 16a² – 8ab+4ab + 2b²

= – 16a² – 4ab + 2b²

3. Perkalian

Pada perpankatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segi di

(a  + b)⁰= 0

(a + b)¹= a + b

(a +b)2 = a2 + 2ab + b2

(a +b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴

(a + b)⁵

(a + b)⁶ dst

Contoh:

Jabarkan bentuk aljabar berikut

a. (3x + 5)²

b. (2x – 3y)²

c. (x + 3y)³

d. (a – 4)⁴

Penyelesaian:

a. (3x + 5)² = 1 (3x)² + 2 × 3x × 5 + 1 × 5²

       = 9x² + 30x + 25

b. (2x – 3y)² = 1 (2x)² + 2(2x) (-3y) +1 × (-3y)²

        = 4x² – 12xy + 9y²

c. (x + 3y)³ = 1 (x³) + 3 × x² × (3y)¹ + 3 × x × (3y)² + 1 ×(3y)³

     = x³ + 9x²y +27y³

d. (a – 4)⁴ = 1a⁴+ 4 × a³ ×(-4)¹ + 6 × a² × (-4)² + 4  × a × (-4)³ +1 × (-4)⁴

     = a⁴ – 16 × a³ +  6a² × 16 + 4a × (-64) + 1 × 256

     = a⁴ – 16a³ + 96a² – 256a + 256

4. Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu factor sekutu masing – masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilng dan penyebut.

Contoh:

Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut

3xy :2y 

Penyelesaian:
3xy/2y faktor sekutu y